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中学数学本科毕业论文 中学数学解题中的常见错误

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研究解题中的错误和克服办法,无论对教师或学生来说都是非常重要的。本文想对这个问题谈谈粗浅的看法。

一、忽视习题的条件或要求引起的错误

明确习题的条件和要求是解题的第一步。题目中多数条件和要求是明确的。但也有的题目的某些条件或要求是不明显的,即隐含条件。而忽视这些条件就会发生错误。

结果是错误的。

隐含条件在题目的已知中并未明显出现,但在题目的解答过程中要应用它。为防止学生忽视,教师应对这样的条件及时归纳整理。如:

1、零指数幂的底数不为零。

2、同角正、余弦的平方和为1.

3、偶次根式的被开数为非负数,等等。

二、运用知识中出现的错误

这种错误主要是对知识掌握得不准确不透彻。

1. 概念不清或互相混淆,对定理条件掌握得不全,对结论掌握不够。

易混的概念如:相反数与倒数;正数与非负数;不尽方根与无理数;集合 与空集;矩阵与行列式等。对这些彼此相近的概念辨认不清,在应用中就易出错。

对概念的外延理解得过宽、过窄也易出错误。如:“每条直线都有斜率”,就是把斜率概念的外延理解过宽引起的错误。而把“三角形”当成锐角三角形,就把概念的外延理解的过窄引起的错误。

定理的条件而导致错误的结果。

正确的答案是:当sinx = 1时,y最小值=-5.

2. 综合运用知识中出现的错误

综合题的特点是涉及的概念多、定理多、方法步骤多、计算多等。出现错误的可能性较大。

例2 已知方程 x2+px+q=0 的两根是Rt 的两个锐角的正弦,试求p与q之间的关系。

分析:因为A、B是锐角,

所以上面的解法忽视了隐含条件sinA>0, sinB>0.从而导致错误的结果。

三、“迁移”过程中的错误

“迁移”在学习知识解答数学习题中有着重要的作用。起积极作用的迁移,称为正迁移。否则称为负迁移。“迁移”如按内容的性质又可分为原理性迁移,知识性迁移,技能性迁移等。

如学生由实数可以比较大小就类比出复数可以比较大小。就是把实数大小的概念迁移到复数范围内造成的错误。

例解方程:▏x ▏ +x = 1+3i

错解:将原方程变形为▏x ▏=1+3ix , 分析:经检验知 ?+3/2i不是原方程的根,所以解法是错误的。原因是,当X为实数时,x2= ▏x ▏2, 但是当X为复数时,不一定总有x2=▏x ▏2 ,如Z=1+i ,则Z2=2i ,▏z▕ 2=2 ,显然 Z2 ▏z▕ 2 . 这个解法从逻辑方面分析是属于“虚假论据”,产生的原因是将实数集中成立的结论迁移到复数集中造成的。

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解题中的负迁移主要是有“定势错觉”引起的。旧知识的感知、理解、掌握对感知新知识形成的习惯性影响,称之为“定势错觉”。如小学就接触到分配律,对它感知很深。当一个公式的外形结构和它相近,又缺乏对其准确的理解时就会产生负迁移。

四、运用“方法”产生的错误

解数学题不可避免地要运用某种方法。解题方法的错误不外是数学方法或逻辑方法的错误。下面举几个这方面的错例。

例 证明:三角形两边中点连线平行于第三边。

错证:如图,设DE不平行BC,过D作DE′∥BC交AC于E′,∵ AD=DB, ∴ AE′=E′C,即E′为AC的中点,而AC的中点是唯一的,所以E′与E重合,DE′与DE重合,∴DE∥BC .

分析:本题采用的是间接证法。间接证法分同一法和反证法。上面的证法是以反证法起而以同一法告终,造成了混乱,是不能允许的。

五、违背“形式逻辑”产生的错误

违背逻辑证明规则常犯的逻辑错误有:考虑不全面,虚假论据,不能推出,偷换论题和循环论证等。

例1 已知:AB、CD分别是圆的切线,M、N是切点,且AB∥CN,求证:M、O、N三点共线。

错证:如图,∵AB、CD是圆的切线,M、N是切点, OM⊥AB,ON⊥CD.M、O、N三点共线。

分析:因为由OM⊥AB,ON⊥CD 不能推出M、O、N三点共线。犯了“不能推出”的错误。论据必须是论题成立的充足理由,论据不仅应当是真实的,而且应该与论题有因果关系。否则就犯了“不能推出”错误。

例2在 中, ,AD⊥BC,求证AD2= BD? DC; AB2= BD? BC; AC2= CD· BC .

错证:根据直角三角形中成正比例线段定理,得AD2= BD? DC ,AB2= BD? BC, AC2= CD?BC .

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分析:欲证命题A,又以命题A为论据,是“自身证明自身”的循环论证。

此外用一个命题的等价命题(或该命题的推论)来证明它,也是“循环论证”。

六、过失性错误

经常听到学生说:“这道题我看错了”、“抄错题了”、“数算错了”、“符号写错了”等等。这类错误称为过失性错误。有时因为记忆模糊也出现这类错误。

产生这类错误,常常是失去大脑控制的下意识活动。究其原因有时是大脑疲劳造成的;有的是长时间养成的不良习惯造成的。对于前者,教师应防止学生大脑过度疲劳。如学生计算同类型的题目不是越多越好,而是开始时精神集中错误较少,逐渐错误就会增多起来。

七、心里因素产生的错误

冷静、细致、排除干扰、有信心等都是使解题取得好效果的重要心理条件。

冷静能使大脑兴奋,而又不失去控制,使思维处于最佳状态,效果是好的。相反,紧张就会影响解题的效果。考试“怯场”就是紧张达到一定程度使大脑处于抑制状态出现的情况。产生“紧张”的原因是多方面的,如社会、家庭、教师、同学等。

每个人的心理个性特征不同,在某种程度上说是不易改变的。神经脆弱型学生易紧张;内向的学生思维反应可能缓慢,但有耐心,较细致;外向的学生思维反应快,但是轻率马虎。女学生往往不如男学生有信心,等等。关键是教师要了解每个学生的心理特征,正确引导,不断扬长避短。坚持严格训练,使学生养成良好习惯。

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